venerdì 28 febbraio 2014

Equazioni differenziali, un approccio nuovo

Sia f(x)=g(x)/h(x) allora g(x)=f(x)h(x) per le regole sulla derivazione della funzione prodotto ho che:
 g'(x) = f'(x)h(x)+f(x)h'(x), ovvero f'(x)h+f(x)h'-g'=0  che conoscendo h', h, g' la possiamo pensare come una equazione differenziale ordinaria a coefficienti variabili in f(x) con soluzione f(x)=g(x)/h(x).

Sempre rimanendo nello stesso caso possiamo vedere l'equazione come: h'(x)f(x)+h(x)f'(x)-g'(x)=0 dove conoscendo questa volta f, f', g' è un'equazione differenziale con soluzione h(x)=g(x)/f(x).

In maniera del tutto analoga, se f(x)=g(x)/h(x) allora f'(x)=[g'(x)h(x)-g(x)h'(x)]/[h(x)]^2  che diventa:

a) h'(x)g(x)-h(x)g'(x)+f'(x)h(x)^2=0 dove conoscendo g, g', f' la soluzione è h(x)=g(x)/f(x)

b) g'(x)h(x)-g(x)h'(x)-f'(x)[h(x)]^2 = 0 dove conoscendo h, h', f' la soluzione è g(x)=f(x)h(x)