domenica 21 dicembre 2014

I fattori primi nei numeri di Mersenne

S può facilmente provare che se M(m) = 2^m-1 con m dispari e primo e p primo dispari tale che p | M(m) allora per p deve valere p = 1 mod (m) e p =+-1 mod (8), ovvero p può assumere una delle forme

p = km+1

e

p = -1+8k oppure p = 1+8k

Questo fatto può essere di grande aiuto a cercare i fattori dei numeri di Mersenne quando dai test già sappiamo che non sono primi


mercoledì 17 dicembre 2014

La verifica sperimentale della legge della distribuzione dei numeri primi

La verifica sperimentale della legge della distribuzione dei numeri primi con il software PARI/GP


{stima(n) = local(i);
i = 3;
count = 0;
while(i<= n,  if(isprime(i), count=count+1); i = i+2; print("--"); print(count); print(i/log(i)) ;v = i/log(i);delta = (count-v)*100/v;print(delta); print("---") );

}

martedì 16 dicembre 2014

Una proprietà dei quadrati perfetti

Proprietà dei quadrati perfetti per risolvere l'equazione diofantina n+1=V^2

n = (2x+1)(2x+3) ovvero n=X(X+2),  dispari


X X+2 n+1 Radq(n+1)
3 5 16 4
5 7 36 6
7 9 64 8
9 11 100 10
11 13 144 12
13 15 196 14
15 17 256 16





se invece x(x+1)=n  allora abbiamo le soluzioni di 1+4n = V^2

X X+1 1+4n RADQ(1+4n)
1 2 9 3
2 3 25 5
3 4 49 7
4 5 81 9
5 6 121 11
6 7 169 13




Con analogo ragionamento fissato k, x(x+k)=n possiamo risolvere l'equazione diofantina k^2+4*n=V^2 per ogni valore di k intero. Ad esempio per k = 4

x x+k n k^2+4*n radq
1 5 5 36 6
2 6 12 64 8
3 7 21 100 10
4 8 32 144 12
5 9 45 196 14
6 10 60 256 16






ma ancora più in generale se (ax+b)(cx+d)=n allora lo schema sopra esposto ci suggerisce la soluzione dell'equazione diofantina (ad+bc)^2-4ac(bd-n)=W^2

mercoledì 3 dicembre 2014

Calcolare Pi greco con Sage e la statistica

import math;
def pig(n):
    b = random();
    a = random();
    A = 0;
    B = 0;
    count = 1;
    while count <= n:
        if (a**2+b**2) <= 1:
            A = A +1;
        else:
            B = B +1;
        a = random();
        b = random();
        count = count +1;
    c = (A)/(A+B);
    print(N(4*c));

martedì 2 dicembre 2014

Equazioni trigonometriche risolubili nel campo complesso

sia k > 1 arcsen(k) = D non risolubile nel campo reale in k

arcsin(k) = a+ib
sen(arcsen(k)) = sen (a+ib)

dato che sen(a+ib) = c+id (vedasi articoli su trigonometria complessa, seno e coseno di un numero complesso)

deduco a, b da k = c+id

idem per arccos(k) = a+ib

cos(arcso(k)) = cos(a+ib)

k = cos(a+ib) = c+id


Potete fare degli esempi/esercizi usando il software PARI/GP