mercoledì 25 novembre 2015

Nuove formule per il PIgreco

ecco una nuova formula per il calcolo del pi greco

{pi(N) = local(j, M);
M = 1;
j = 1;
while(j < N , M = (4*j^2)*M/(4*j^2-1); j = j+1);
print(2.*M);
}

in PARI/GP

domenica 22 novembre 2015

Una forma generalizzata dell'Ultimo Teorema di Fermat (UTF)

sia c = x^n + y^n con x, y, n, interi qualsiasi maggiori di 1

allora moltiplichiamo entrambi i membri per z^n, con z, n interi positivi

cz^n = (zx)^n+(zy)^n , con z intero > 1

questo ci fornisce le soluzioni dell'equazione cZ^n=X^n+Y^n

ma  MCD(Z, X, Y ) > 1

Osservazione. c non può essere della forma c = d^n perché altrimenti varrebbe l'ultimo teorema di fermat, ovvero d^n = x^n +y^n avrebbe almeno una soluzione non banale per n > 1

analogamente con lo stesso procedimento prima descritto:
c = x^n- y^n, c > 1, x > y

cz^n =(zx)^n -(zy)^n

cz^n + (zy)^n = (zx)^n

e quest'ultima ci fornisce lo schema risolutivo per l'equazione diofantina  cX^n +Y^n = Z^n
anche qui MCD(X, Y, Z) > 1

giovedì 19 novembre 2015

Moto di un corpo soggetto a forza F

F = ma

F non dipende da t

t = tempo

s = (1/2)at^2+(v_0)t+(s_0)

quindi

 s(t) = (t^2)(F/2m)+(v_0)t+(s_0) è soluzione accettabile di F=ma con a =d^2(s)/dt^2 è costante

martedì 17 novembre 2015

Ancora risultati sulla congettura di Beal

Partiamo da

a^n+b^n = c

moltiplichiamo per c^(n-1), c > 1 intero

c^(n-1)a^n +c^(n-1)b^n = c^(n-1) c

ovvero
(ac)^n +(cb)^n = c^(n+1)

e i tre elementi hanno sempre MCD diverso da 1

idem per

a^n-b^n = c


c^(n-1)a^n -c^(n-1)b^n = c^(n-1) c

(ac)^n -(cb)^n = c^(n+1)

(ac)^n = (cb)^n +c^(n+1)

e i tre elementi hanno sempre MCD diverso da 1

lunedì 16 novembre 2015

Algoritmo per associare tutor e studenti

Per associare ad ogni studente un tutor, proporrei il seguente algoritmo già sperimentato in molti corsi di laurea. Ad ogni docente viene assegnato un numero da 0 a N, quindi N+1 docenti. Ogni studente ha una matricola numerica ovvero M. Lo studente per sapere chi è il suo tutor calcola 
M mod N = M -N*int(M/N), ovvero usa l'aritmetica modulare modulo N. Il numero che ottiene sarà compreso tra 0 e N e quindi da questo ricaverà il nome del rispettivo docente. In questo modo si ha una distribuzione abbastanza uniforme e casuale del carico didattico.
Lo stesso algoritmo s potrebbe applicare per orari lezioni e date esami con alcune importanti varianti

Ulteriori notevoli equazioni diofantine

a^6-a^5 = b^5+c^5

1) a= b = m^5+2, c= m(m^5+2)
2) a= -m^5, b=m^5, c=m^6
3) a = 2m^5+1, b=c=m(2m^5+1)
4) a = m^5+1, b = 0, c = m(m^5+1)

A) a = r^5+s^5+1, b = r(r^5+s^5+1), c=(r^5+s^5+1)
B) a=0, b = -c


a^4+b^4+c^4+d^4+e^4=f^4

(2x^2+36x-54)^4 + (2x^2-36x-54)^4+(4x^2-108)^4+(3x^2+81)^4=(5x^2+135)^4

(2x^2+12x-6)^4+(2x^2-12x-6)^4+(4x^2-12)^4+(4x^2+12)^4+(3x^2+9)^4 = (5x^2+15)^4

(2x^2+24x-24)^4+(2x^2-24x-24)^4+(4x^2-48)^4+(4x^2+48)^4+(3x^2+36)^4=(5x^2+60)^4

(2x^2+72x-216)^4+(2x^2-72x-216)^4+(4x^2-432)^4+(4x^2+432)^4+(3x^2+324)^4 = (5x^2+540)^4


a^7=b^7+c^7+d^2
a = m(m^7-n^7-p^7)
b = n(m^7-n^7-p^7)
c = p(m^7-n^7-p^7)
d = (m^7-n^7-p^7)^4



venerdì 13 novembre 2015

Vigenere a doppia chiave

Un modo per rendere il sistema crittografico di Vigenere più sicuro è quello di usare due cifrature:

  • la prima usa una chiave (chiave A) che si ripete per tutto il testo
  • nella seconda si ripete la crittografia cifrando il testo di cui sopra già criptato con una seconda chiave (chiave B)

Per decrittare si fa l'operazione inversa decrittando prima con la chiave B poi con la chiave A.

In questo caso l'analisi della frequenze è quasi inutile e il sistema mantiene un elevato livello di praticità e sicurezza.

Più in generale si possono usare una sequenza di parole chiavi A, B, C, .... per la cifratura e nell'ordine inverso per la decifratura


lunedì 9 novembre 2015

Un modo per valutare i giochi d'azzardo

E = evento

P(E) = p con 0

Q = quota

S(E) = Q*P (speranza matematica dell'evento E)

S(E) = 1 gioco equo

normalmente 0< S(E) < 1

Il gioco migliore (quello più equo) è quello che ha S(E) il più possibile vicino a 1

U = Q*x-x = utile

x = somma giocata

ovviamente deve essere  x > 1/(Q*P)

venerdì 6 novembre 2015

Calcolo della superficie e del volume di un corpo

rho = m / V

rho = densità

m = massa

V = volume

Fp = forza peso = m g = rho V

g = accelerazione di gravità

quindi  V = Fp/(rho*g)

se il corpo ha altezza costante h, allora A = superficie = V / h

IN alternativa per il calcolo del volume si può utilizzare il Principio di Archimede .

giovedì 5 novembre 2015

Famose costanti dei numeri primi

{
cost(m) = local(c, p);

c = 1;
p = 3;

while (p < m && isprime(p) , c = c*p*(p-2)/((p-1)*(p-1)); p = nextprime(p+2)  );

c = c*1.0;
print(c);

}

c = 0.66 - programma in PARI/GP

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Mertenz

{
mertenz(m) = local(s, p, n);
s = 0;
p = 3;
for(n=1, m, if(isprime(p), s = s+ log(p)/(p); p = nextprime(p+2)));

s = s*1.0;
print(s);
}

s è circa il log(m)