sabato 31 dicembre 2016

Metodo Monte Carlo e processi casuali

un tipico processo casuale è descritto da equazioni del tipo:
x_(n+1)= r x_(n) Mod(N)
con valore iniziale x_(0) fornisce una sequenza casuale (0, N) per opportuni valori di r, x_(0), N

sia data la sequenza casuale x_(0), x_(1), x_(2), x_(3), ...

allora per risalire all'equazione generatrice dovremo tentare di risolvere

x_(1) -r x_(0) = k_(1) N
x_(2) -r x_(1) = k_(2) N
x_(3) -r x_(1) = k_(3) N
......
i k_(i)  in generale saranno tutti differenti ma sempre interi positivi

per cercare di determinare r,  N.

In questo modo possiamo tentare di prevedere i futuri valori della sequenza casuale sempre nell'ipotesi che essa sia generata da x_(n+1)= r_ x(n) Mod(N). In questi termini l'operazione può essere proibitiva ma osserviamo che:

x_(n+1) = r x_(n) mod N
x_(n+1) = r x_(n) + kN

è un 'equazione diofantina del tipo

c = ax+by che si può risolvere con algoritmo euclideo

x = x* + Rb/MCD(a,b)
y = y* - Ra/MCD(a,b)

sse c  | MCD(a,b)

R una costante intera
x*, y * soluzioni particolari di c = ax+by

c = x_(n+1)
a = x_(n)
b = N
x = r
y = k

Questo prova quindi che i generatori di numeri casuali non possono essere determinati in modo univoco tramite l'analisi dei dati generati: N è noto ma r può assumere infiniti valori sia pur classificati nel modo riportato sopra.

Non dimentichiamoci che se d = MCD(a,b) allora esistono u, v tali che d = au+bv

Un altro metodo, molto diverso consiste nel trovare il polinomio interpolatore i dati x(0), x(1),..... ma funziona bene solo se la sequenza non è casuale ed è generata da una funzione polinomiale


sabato 24 dicembre 2016

Risoluzione numerica delle equazioni algebriche e sistemi dinamici

sia F(x)= 0 l'equazione che vogliamo risolvere

allora usando il metodo del punto unito
se x_(n+1) = F(x_n), 
x_0 = a

converge, allora per ogni k > 2  intero converge

x_(n+1) = (1/k)x_n + ((k-1)/k)F(x_n), 
x_0 = a

e converge più velocemente

sabato 10 dicembre 2016

La matematica delle elezioni politiche

F1 = 1- ab/(100)^2

F2 = ab/(100)^2

F1 è la percentuale degli elettori aventi diritto di voto che non ha votato quel partito

F2 è la percentuale degli elettori aventi diritto di voto che  ha votato quel partito

a = percentuale degli elettori aventi diritto di voto che hanno votato

b = percentuale degli elettori tra quelli che sono andati alle urne che ha votato per quel partito